Šeherezadin broj

Šeherezada je popularna ličnost iz najpoznatijeg zbornika priča arapskih naroda „Hiljadu i jedna noć“, sa elementima indijskog i persijskog folklora.

“U jednoj zemlji Dalekog istoka živeo je nekad jedan kralj, koji je svake noći uzimao novu ženu i sledećeg jutra naređivao da je pogube.Posle nekog vremena ljudi su postali smrtno uplašeni, jer je dolazio red i na njihove kćeri da po jednu noć budu kraljice. Tada Šeherezada, kćer kraljevog savetnika, koja je bila mudra kao i njen otac, zamoli oca da i ona postane kraljeva žena i da sa sobom kao pratilju povede svoju sestru. Njen otac je bio zapanjen takvom molbom, ali je znao da je njegova kćer toliko mudra da bi mogla učiniti kraj tom strašnom kraljevom ponašanju. I tako se njegova kćer Šeherezada venčala sa kraljem. Posle večere Šeherezada je zamolila kralja da se oprosti sa svojom sestrom. Kada je Šeherezadina sestra ušla, zatražila je da joj Šeherezada ispriča jednu od njenih prelepih bajki."

Šeherezada je počela da priča jednu bajku, a kada je završila, kralj je bio toliko ushićen, da je hteo da čuje još jednu priču. Tako je Šeherezada iz noći u noć – 1001 noć pričala kralju po tri ili pet bajki. U međuvremenu je kralj zavoleo Šeherezadu, poštedeo joj život, a ona mu je podarila troje dece”.

Šeherezada je postala careva žena, a ceo narod je slavio njenu lepotu i mudrost. Car je naredio da se zapišu sve Šeherezadine priče i tako sačuvaju od zaborava.

Priče su nastale u vreme procveta arapske nauke i kulture –Bagdadski kalifat, pa je to došlo do izražaja u Šeherezadinim pričama. Tako se u okviju nekih priča pojavljuju i interesantni matematički zadaci.

Navodimo jedan od njih (458.noć):

Jato golubova doletelo je do visokog drveta. Jedan deo se raspodelio na grane drveta, a drugi se smestio ispod drveta. Golubovi sa grane govore onima ispod: “Ako bi jedan od vas doleteo nama, bilo bi vas trećina od ukupnog broja, a ako bi jedan od nas sleteo vama, bilo bi nas podjednako.” Koliko je golubova sletelo na granama, a koliko ih je bilo ispod drveta?

Još jedan zadatak iz zbornika priča “1001 noć”:

Jedna žena je pošla u vrt da nabere jabuke. Pri izlasku iz vrta ona mora da prođe kroz 4 kapije i da na svakoj kapiji da stražaru poloviju jabuka koje u tom trenutku ima. Posle izlaska kroz četvrtu kapiju, ostalo joj je u korpi 10 jabuka. Koliko je ona jabuka nabrala u vrtu?

Sa matematičke strane gledišta, broj 1001 ima nekoliko interesantnih svojstva. Deljiv je brojevima 7, 11 i „baksuznim“ brojem 13. Ustvari, 1001 = 7*11*13 tj.broj 1001 je proizvod tri uzastopna prosta broja.

Zanimljivo je i to da se proizvod bilo kog trocifrenog broja sa 1001 može dobiti i tako što se taj broj napiše dvaputa.Zaista,

Na primer, 1001*111 =. 111111 Kako je 111 = 3 * 37 , na osnovu toga se broj 111111 lako rastavlja na činioce: 111111 = 3 * 7 * 11 * 13 * 37.

Slično, važi ab * 101 = abab i abcd * 10001 = abcdabcd

Zadatak : Dokazati da je broj 11111211111 deljiv sa 11 na kvadrat.

Rešenje :

Dakle,

Time je dokaz završen.

Na gore navedenim svojstvima zasnivaju se neki „mađioničarski trikovi“. Evo jednog takvog, koji je opisao poznati popularizator matematike Jakov Pereljman:

Izvođač trika traži od jednog od prisutnih da na listu papira napiše proizvoljan trocifreni broj. Razgovor teče na sledeći način.

Mogu li u tom broju biti i nule?
Nema nikakvih ograničenja. Bilo koji trocifreni broj.
Napisao sam. Šta sad?
Dopiši tom broju isti taj broj. Dobićeš naravno šestocifreni broj.
Tačno, šestocifren je broj.
Daj taj broj drugu do sebe, a on neka podeli taj šestocifreni broj sa 7.
Lako je reći podeli ga sa 7, a šta ako br nije deljiv sa 7?
Ne brini se, neće biti ostatka.
Ne znaš broj,a siguran si da neće biti ostatka.
Prvo podeli, a posle ćemo razgovarati.
Imaš sreće, broj je deljiv sa 7.
Sada ti prosledi papir drugu do sebe, a on neka podeli taj broj sa 11.
Podelio sam,opet nije bilo ostatka.Šta sad?
Prosledi papir dalje. Podeli ga... recimo sa 13.
Baš si imao sreće,opet nema ostatka.
Presavi papir da ja ne bih video brojeve i daj mi ga.

Ne razvijajući list papira,izvođač trika preda papir učeniku koji je napisao polazni broj :

Izvoli broj koji si zamislio
Savršeno tačno! –sa divljenjem odgovori učenik

OBJAŠNjENjE:

Ako je prvi učenik zamislio npr. broj 342, kada je dopisao isti taj br. dobio je broj 342342. Sledeći učenik je taj broj podelio sa 7 tj. 342342:7=48906. Zatim je sledeći učenik podelio novodobijeni broj sa 11, tj.48906:11=4446. I na kraju je treći učenik podelio taj br sa 13 tj. 4446:13=342.